Question

已知：抛物线y²=4x的焦点为F，定点P（3，1），
（1）M为抛物线y²=4x上一动点，求|MP|+|MF|的最小值．
（2）过点P作一条斜率等于2的直线交抛物线于A、B两点，求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的定义，结合平面几何知识可得当M的纵坐标为1时，PM所在直线与准线垂直，此时|MP|+|MF|取得最小值为4．
（2）由题意，直线AB方程为y=2x-5，与y²=4x消去x得：4x²-24x+25=0．再用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式，算出|AB|=

55

；利用点到直线的距离公式算出点O到直线AB的距离，即可求出△AOB的面积．

解答：解（1）由抛物线的定义，得MF长等于点M到抛物线y²=4x的准线x=-1的距离，
设点P到直线x=-1的距离为h，
∴|MP|+|MF|≥h，
又∵h=x_P-（-1）=3+1=4，
∴|MP|+|MF|的最小值为4．
（2）由题意，得直线AB的方程为y-1=2（x-3），即y=2x-5，
代入y²=4x得：4x²-24x+25=0
设交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=6.25
可得|AB|=

1+22

|x₁-x₂|=

1+22

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

55

又∵点O到直线AB的距离d=

5

22+(-1)2

=

5

∴△AOB的面积S_△AOB=

1

2

|AB|d=

1

2

×

55

×

5

=

5 11

2

．

点评：本题求抛物线中距离和的最小值，并求焦点弦AB与原点构成的△AOB面积．着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、直线与抛物线位置关系等知识，属于中档题．