Question

已知函数的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x^-2-x²（x∈A）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）的单调性并用定义证明；
（3）解不等式f（3x+1）＞f（5x+1）．

Answer 1

【答案】分析：（1）化简函数f（x），考察函数的定义域再利用函数的奇偶性的定义直接求解即可；
（2）任取设x₁＜x₂我们构造出f（x₁）-f（x₂）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案；
（3）由（1）知f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），从而原不等式化为f（|3x+1|）＞f（|5x+1|）再结合函数的单调性脱掉函数符号：“f”转化为绝对值不等式组求解即得．
解答：解：（1）由得，故-1＜y＜1，因此A=（-1，0）∪（0，1）．又
因为f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函数；
（2）设x₁＜x₂，则，
①如果x₁，x₂∈（-1，0），那么x₁+x₂＜0，故f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）；
②若x₁，x₂∈（0，1），则x₁+x₂＞0，故f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）．
因此f（x）在（-1，0）单增，在（0，1）单减；
（3）因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），从而原不等式化为f（|3x+1|）＞f（|5x+1|）．
故，即，
解得，从而原不等式的解集为．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．