Question

13．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$（cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）（cos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$）+2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若将f（x）的图象先向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再把图象上各点的横坐标变为原来的$\frac{2}{π}$倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，数列{a_n}满足a_n=g（n），记数列{a_n}的前n项和为S_n，求S₁₇．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式可得：f（x）=2$sin（x+\frac{π}{3}）$．即可得出周期．
（2）将f（x）的图象先向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数y=$2sin（x+\frac{π}{6}+\frac{π}{3}）$=2cosx，再把图象上各点的横坐标变为原来的$\frac{2}{π}$倍，纵坐标不变，
可得函数g（x）=2cos$\frac{π}{2}x$．a_n=g（n）=$2cos\frac{nπ}{2}$，可得a_2k-1=0，a_2k=2coskπ=（-1）^k•2．即可得出．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$（cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）（cos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$）+2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$
=$\sqrt{3}（co{s}^{2}\frac{x}{2}-si{n}^{2}\frac{x}{2}）$+sinx
=$\sqrt{3}$cosx+sinx
=2$sin（x+\frac{π}{3}）$．
∴T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）将f（x）的图象先向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数y=$2sin（x+\frac{π}{6}+\frac{π}{3}）$=2cosx，
再把图象上各点的横坐标变为原来的$\frac{2}{π}$倍，纵坐标不变，
可得函数g（x）=2cos$\frac{π}{2}x$．
数列{a_n}满足a_n=g（n）=$2cos\frac{nπ}{2}$，
则a₁=0，a₂=-2，a₃=0，a₄=2，…，
可得a_2k-1=0，a_2k=2coskπ=（-1）^k•2．
∴S₁₇=a₂+a₄+…+a₁₆
=2（-1+1-1+1+…-1+1）
=0．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、和差公式、图象变换、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．