Question

椭圆C中心为坐标原点，点（2，0），（0，1）是它的两个顶点，F为右焦点，点A、B在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若A、F、B三点共线，求

AF

BF

的范围；
（3）若∠AFB=

2

3

π，弦AB中点M在右准线l上的射影为M'，求

|MM′|

|AB|

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意得 a=2，b=1，焦点在x轴上，从而写出椭圆的方程．
（2）设A（x，y），利用两点间的距离公式写出AF，配方求出它的最大值和最小值．注意AF最大时，BF最小；AF最小时，BF最大，从而得到

AF

BF

的范围．
（3）做出辅助线，利用梯形的中位线性质、椭圆的第二定义、余弦定理以及基本不等式，求出

|MM′|

|AB|

的最大值．

解答：解：（1）由题意得 a=2，b=1，焦点在x轴上，
故椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设A（x，y），则F （

3

，0），
AF=

(x- 3 )2+y2

=

(x- 3 )2+1- x2 4

=

3 4 x2-2 3 x+4

，
∵x∈[-2，2]，∴当x=-2时，AF取最大值2+

3

，
当x=2时，AF取最小值2-

3

，
且当AF取最大值2+

3

时，BF取最小值2-

3

；
当AF取最小值2-

3

时，BF取最大值2+

3

．
所以，

AF

BF

∈[7-4

3

，7+4

3

]．
（3）过A、B作右准线l垂线，垂足分别为C、D，则2MM’=AC+BD
由椭圆第二定义，AF=eAC，BF=eBD，所以AF+Bf=e（AC+BD），
所以MM’=

3

3

(AF+BF)，

|MM′|

|AB|

=

3 (AF+BF)

3AB

由余弦定理得cos

2π

3

=-

1

2

=

AF2+BF2-AB2

2AF•BF

，从而，
AB²=AF²+BF²+AF•BF=（AF+BF）²-AF•BF ≥(AF+BF)2-(

AF+BF

2

)2=

3

4

(AF+BF)2，
则(

|MM′|

|AB|

)2=[

3 (AF+BF)

3AB

]2≤

4

9

，

|MM′|

|AB|

的最大值为

2

3

．

点评：本题考查求椭圆的标准方程的方法，两点间的距离公式，椭圆的第二定义、余弦定理以及基本不等式的应用．