Question

设动点到定点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线.

（1）求点的轨迹方程；

（2）设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时，弦长是否为定值？为什么？

Answer 1

（1）曲线方程是

（2）当运动时，弦长为定值4

解析:

（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线………………………………2分

　　　　∵      ∴　

∴　曲线方程是………4分

（2）设圆的圆心为，∵圆过，

∴圆的方程为　　……………………………7分

令得：　　

设圆与轴的两交点分别为，

方法1：不妨设，由求根公式得

，…………………………10分

∴

又∵点在抛物线上，∴，

∴　，即＝4--------------------------------------------------------13分

∴当运动时，弦长为定值4…………………………………………………14分

　〔方法2：∵，　

∴

　又∵点在抛物线上，∴， ∴　　

∴当运动时，弦长为定值4〕