Question

（本大题满分14分）
已知函数 ，其中,b∈R且b≠0。
（1）求的单调区间；
（2）当b=1时，若方程没有实根，求a的取值范围；
（3）证明：，其中．

Answer 1

解：（1）由题意可知：，b≠0时,
令，得，                   （1分）
则①b>0,当时，，单调递减；                                   
当时，，单调递增                                  （3分）②b<0,当时，，单调递增；                                
当时，，单调递减                                  （5分）
（2）由（1）可得在处取得极小值，且没有实根，              （7分）
则，即，解得：                               （8分）
（3）方法1：由（2）得，令，成立，
则，恒成立                                              （10分）
故



，即得证。                                                          （14分）
方法2：数学归纳法
（1）        当时，成立；
（2）        当时，成立，
当时，

同理令，，即，               （10分）
则，                         （12分）
故，
即对也成立，
综合（1）（2）得：，恒成立。      （14分）

略