Question

若曲线C上的点到直线x=-2的距离比它到点F（1，0）的距离大1，
（1）求曲线C的方程．
（2）过点F（1，0）作倾斜角为135的直线交曲线C于A、B两点，求AB的长
（3）过点F（1，0）作斜率为k 的直线交曲线C于M、N 两点，求证：为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得曲线C上的点到直线x=-1的距离等于到点（1，0）的距离，所以曲线C的轨迹是抛物线，由此能求出其方程．
（2）由，得y²+4y-4=0，y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由此能求出．
（3），，设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），，由此能求出为定值．
解答：解：（1）由已知得曲线C上的点到直线x=-1的距离等于到点（1，0）的距离，所以曲线C的轨迹是抛物线，其方程是y²=4x．
（2）由，得y²+4y-4=0，
∴y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴．
（3），∴，
设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），，
∴
==，
∴为定值．
点评：本题考查直线的圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意培养解题技巧，提高解题能力．