【题目】设均为大于1的整数.证明:存在
个不被
整除的整数,若将它们任意分成两组,则总有一组有若干个数的和被
整除.
【答案】见解析
【解析】
先考虑为2的幂的情形.
设.则
.取3个
及
个1,显然,这些数均不被
整除.将这
个数任意分成两组,则总有一组中含2个
,其和为
且被
整除.
设不是2的幂,取
个数为
.
因为不是2的幂,所以,上述
个数均不被
整除.
若可将这些数分成两组,使得每一组中任意若干个数的和均不被整除.不妨设1在第一组,由
被
整除,故两个
必须在第二组;又
被
整除,故2在第一组,进而,推出
在第二组.
现归纳假设均在第一组,而
均在第二组.
由被
整除,故
在第一组,从而,
在第二组.
故由数学归纳法,知在第一组,
在第二组.
最后,由于被
整除,故
在第一组.因此,
均在第一组.由正整数的二进制表示,知每一个不超过
的正整数均可表示为
中若干个数的和,特别地,因为
,所以,第一组中有若干个数的和为
,当然被
整除,矛盾.
因此,将前述个整数任意分成两组,总有一组中有若干个数之和被
整除.
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【题目】对于三次函数,定义
是
的导函数
的导函数,经过讨论发现命题:“一定存在实数
,使得
成立”为真,请你根据这一结论判断下列命题:
①一定存在实数,使得
成立;②一定存在实数
,使得
成立;③若
,则
;④若存在实数
,且
满足:
,则函数
在
上一定单调递增,所有正确的序号是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
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【题目】某同学假期社会实践活动选定的课题是“节约用水研究”.为此他购买了电子节水阀,并记录了家庭未使用电子节水阀20天的日用水量数据(单位:)和使用了电子节水阀20天的日用水量数据,并利用所学的《统计学》知识得到了未使用电子节水阀20天的日平均用水量为0.48
,使用了电子节水阀20天的日用水量数据的频率分布直方图如下图:
(1)试估计该家庭使用电子节水阀后,日用水量小于0.35的概率;
(2)估计该家庭使用电子节水阀后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)
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【题目】某地统计局调查了10000名居民的月收入,并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图如图所示。
(1)求居民月收入在[3000,3500)内的频率;
(2)根据频率分布直方图求出样本数据的中位数;
(3)为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10000中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析,则应从月收入在[2500,3000)内的居民中抽取多少人?
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC..
(1)求角A的大小;
(2)若sinB+sinC=,试判断△ABC的形状.
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【题目】在工业生产中,对一正三角形薄钢板(厚度不计)进行裁剪可以得到一种梯形钢板零件,现有一边长为3(单位:米)的正三角形钢板(如图),沿平行于边的直线
将
剪去,得到所需的梯形钢材
,记这个梯形钢板的周长为
(单位:米),面积为
(单位:平方米).
(1)求梯形的面积
关于它的周长
的函数关系式;
(2)若在生产中,梯形的面积与周长之比(即
)达到最大值时,零件才能符合使用要求,试确定这个梯形的周长
为多时,该零件才可以在生产中使用?
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【题目】某公司有男性职工64名,一次体检后,将他们的体重(单位:kg)分组为:,
,
,
,
,绘制出频率分布直方图如图,图中从左到右的前3个小组的频率之比为
.
(1)求这64名男职工中,体重小于60kg的人数;
(2)从体重在kg范围的男职工中用分层抽样的方法选取6名,再从这6名男职工中随机选取2名,记“至少有一名男职工体重大于65kg”为事件
,求事件
发生的概率.
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