Question

已知a，b∈R⁺，下列不等式：①a+b+

1

ab

≥2

2

，②(a+b)(

1

a

+

1

b

)≥4，③

a2+b2

ab

≥a+b，④

2ab

a+b

≥

ab

，其中一定恒成立的是

①②③

（填写序号）．

Answer 1

分析：利用a+b≥2

ab

证明①正确；把左边展开后再用基本不等式进行证明②正确；利用平方后作差、变形和判断符号证明③正确；把a+b≥2

ab

取倒数后，再两边同乘以2ab证明出④不正确．

解答：解：由于a，b∈R⁺，则
①、∵a+b≥2

ab

，当且仅当a=b时取等号，∴2

ab

+

1

ab

≥2

2

成立，故①正确；
②、(a+b)(

1

a

+

1

b

)=2+

b

a

+

a

b

≥4，当且仅当

b

a

=

a

b

时取等号，故②正确；
③、∵(

a2+b2

ab

)2-(a+b)2=

1

ab

[a⁴+b⁴+2a²b²-ab（a+b）²]
=

1

ab

(a4+b4-a3b-ab3)=

1

ab

[a3(a-b) +b3(b-a)]=

1

ab

[ (a-b)2(a2+ab+b2) ]
=

1

ab

(a-b)2[(a+

b

2

)2+

3b2

4

) ]≥0，∴

a2+b2

ab

≥a+b，故③正确；
④、∵a+b≥2

ab

，当且仅当a=b时取等号，∴

2ab

a+b

≤

2ab

2 ab

=

ab

，故④不对；
故答案为：①②③．

点评：本题考查了基本不等式的应用，结合做差法以及两边平方后再作差，后不等式取倒数等进行证明，注意：“一正、二定、三相等”的说明．