Question

（00全国卷理）（本小题满分14分）

如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围

Answer 1

解析：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD⊥轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称                                                       ――2分

依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高

由定比分点坐标公式得

               ，

              

设双曲线的方程为，则离心率

由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得

                ，             ①

                    ②            ――7分

由①式得         ，            ③

将③式代入②式，整理得   

                 ，

故                                    ――10分

由题设得，

解得             

所以双曲线的离心率的取值范围为           ――14分