Question

已知{a_n}是首项为a₁，公比为q（q≠1）的等比数列，其前n项和为S_n，且有

S10

S5

=

33

32

，设b_n=2q+S_n
（1）求q的值；
（2）数列{b_n}能否为等比数列？若能，请求出a₁的值；若不能，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，求数列{nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件，利用等比数列的求和公式，列出关于等比数列的首项与公比的方程组，求公比
（2）由（1）知b_n=2q+S_n=1+

a1(1- 1 25 )

1- 1 2

=（2a₁+1）-

2a1

2n

，先假设数列{b_n}能否为等比数列，则b22=b1b3，可求a1=-

1

2

，bn=

1

2n

，代入检验即可判断
（3）由于b_n是有一等差数列与等比数列的积构成的数列，利用错位相减的方法求出前n项和．

解答：解（1）∵q≠1
∴

S10

S5

=

a1(1-q10) 1-q

a1(1-q5) 1-q

=1+q⁵=

33

32

∴q=

1

2

（2）由（1）知b_n=2q+S_n=1+

a1(1- 1 25 )

1- 1 2

=（2a₁+1）-

2a1

2n

①若数列{b_n}能否为等比数列，则b22=b1b3，即(1+

3a1

2

)2=(1+a1)(1+

7a1

4

)
∴a1=-

1

2

或a₁=0（舍去）
∴bn=

1

2n

②∵b_n≠0，且n≥2时，

bn

bn-1

=

1

2

∴a1=-

1

2

时，数列{b_n}为等比数列
（3）由（2）nbn=

n

2n

∴Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+••+

n-1

2n

+

n

2n+1

两式相减可得，

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

∴T_n=2-

n+2

2n

点评：求数列的前n项和，一般先求出通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．