Question

【题目】已知数列{an}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a3 ， 成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=log3（anan+1）（n∈N*），求数列{anbn}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等比数列{an}公比为q＞1，∵a3， 成等差数列．

∴ a4=a3+a5，化为：3q2﹣10q+3=0，解得q=3．∴an=3n﹣1

（2）解：bn=log3（anan+1）= =2n﹣1，

∴anbn=（2n﹣1）3n﹣1．

∴数列{anbn}的前n项和Sn=1+3×3+5×32+…+（2n﹣1）3n﹣1．

3Sn=3+3×32+5×33+…+（2n﹣3）3n﹣1+（2n﹣1）3n，

∴﹣2Sn=1+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）3n=1+2× ﹣（2n﹣1）3n=（2﹣2n）3n﹣2，

∴Sn=1+（n﹣1）3n

【解析】（1）设等比数列{an}公比为q＞1，由a3 ， 成等差数列．可得 a4=a3+a5 ， 化为：3q2﹣10q+3=0，解得q即可得出．（2）bn=log3（anan+1）= =2n﹣1，可得anbn=（2n﹣1）3n﹣1 ． 利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【考点精析】通过灵活运用等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和，掌握通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．