Question

数列中，a_n＞0，a_n≠1，且（n∈N^*）．
（1）证明：a_n≠a_n+1；
（2）若，计算a₂，a₃，a₄的值，并求出数列的通项公式；
（3）若a₁=a，求实数p（p≠0），使得数列成等比数列．

Answer 1

【答案】分析：（1）采用反证法证明，先假设a_n=a_n+1，代入化简后，可求出a_n的值与a_n＞0，a_n≠1矛盾，所以假设错误，原结论正确；
（2）把n=1代入中，由a₁的值即可求出a₂的值，把n=2代入中，由a₂的值即可求出a₃的值，把n=4代入中，由a₃的值即可求出a₄的值，把已知的等式去分母后，在变形后的式子等号两边都除以3a_na_n+1，变形后得到数列是等比数列，找出首项和公比写出此等比数列的通项公式，化简后即可得到数列的通项公式a_n；
（3）设数列成等比数列，公比为q，根据等比数列的定义可知第n+1项与第n项的比值等于公比q，化简后根据p不为0，利用多项式为0时，各项的系数都为0即可求出p与q的值．
解答：解：（1）若a_n=a_n+1，即，
得a_n=0或a_n=1与题设矛盾，
∴a_n≠a_n+1；
（2）由a₁=，令n=1得：a₂==，
令n=2得：a₃==，令n=3得：a₄==，
由，得，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，得；
（3）设数列成等比数列，公比为q，
则，
即（2p-3q+3）a_n=3pq-p，
由p≠0，∴a_n不是常数列，
∴，，
此时，是公比为的等比数列．
点评：此题考查学生会利用反证法进行证明，掌握等比数列的确定方法，灵活运用等比数列的通项公式及数列的递推式化简求值，是一道中档题．