Question

如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2

2

，E、F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求四面体PEFC的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由PA=AD=2，知AF=PD，由PA垂直于矩形ABCD所在的平面，知PA⊥CD，由AD⊥CD，知CD⊥平面PAD，由此能够证明平面PCE⊥平面PCD．
（Ⅱ）由GE⊥平面PCD，知EG为四面体PEFC的高，由GF∥CD，知GF⊥PD，由此能求出四面体PEFC的体积．

解答：解：（Ⅰ）∵PA=AD=2，∴AF=PD，
∵PA垂直于矩形ABCD所在的平面，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD，
∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，
∴GE⊥平面PCD，
∵GE?平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知GE⊥平面PCD，
∴EG为四面体PEFC的高，
又∵GF∥CD，∴GF⊥PD，
∵EG=AF=

2

，GF=

1

2

CD=

2

，S△PCF=

1

2

PD•GF=2，
∴四面体PEFC的体积V=

1

3

S△PCF•EG=

2 2

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查四面体的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间想象能力的培养．