Question

（本小题满分13分）设函数，其中表示不超过的最大整数，如. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若在区间上存在x，使得成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）求函数的值域.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   

解析:

：（Ⅰ）因为，所以     -------------2分

（Ⅱ）因为，所以,  -----------3分

      则.     求导得，当时，显然有,

         所以在区间上递增,  --------5分  即可得在区间上的值域为,  在区间上存在x，使得成立，所以. -------7分

（Ⅲ）由于的表达式关于x与对称，且x>0，不妨设x??1.

     当x=1时，=1，则; ----8分     当x>1时，设x= n+，n??N^*，0??<1.

     则[x]= n，，所以.   ---------9分

     ，在[1，+??)上是增函数，又，

     ,

     当时，     

当时，   ……… 11分

     故时，的值域为I₁∪I₂∪…∪I_n∪…

     设,

     则.     ,

     \当n??2时，a₂= a₃< a₄<…< a_n<…

     又b_n单调递减，\ b₂> b₃>…> b_n>…  \[ a₂，b₂)= I₂I₃I₄…I_n…------12分

     ,

     \ I₁∪I₂∪…∪I_n∪… = I₁∪I₂ =.

     综上所述，的值域为.-----13分