Question

已知两点M（0，0），N（-

12

5

，-

6

5

），给出下列曲线方程：
①4x+2y-1=0；
②x²+y²=3；
③

x2

2

+y2=1；
④

x2

2

-y2=1．
在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（　　）

• A、①③
• B、②④
• C、①②③
• D、②③④

Answer 1

分析：求出线段MN的垂直平分线方程，然后分别和题目给出的四条曲线方程联立，利用判别式判断直线和曲线的交点情况，从而判断给出的曲线上是否存在点P，使得|MP|=|NP|．

解答：解：由M（0，0），N（-

12

5

，-

6

5

），
得k=

- 6 5

- 12 5

=

1

2

，M，N中点坐标为（-

6

5

，-

3

5

）．
∴MN的垂直平分线方程为y+

3

5

=-2（x+

6

5

），
即2x+y+3=0．
①∵直线2x+y+3=0与直线4x+2y-1=0平行，
∴直线4x+2y-1=0上不存在点P，使|MP|=|NP|；
②联立

2x+y+3=0 x2+y2=3

，得
5x²+12x+6=0，
△=12²-4×5×6=24＞0．
∴直线y=-2x-3与x²+y²=3有交点，
∴曲线x²+y²=3上存在点P满足|MP|=|NP|；
③联立

2x+y+3=0 x2 2 +y2=1

，得
9x²+24x+16=0，
△=24²-4×9×16=0．
∴直线y=-2x-3与

x2

2

+y2=1有交点，
∴曲线

x2

2

+y2=1上存在点P满足|MP|=|NP|；
④联立

2x+y+3=0 x2 2 -y2=1

，
得7x²+24x+20=0，
△=24²-4×7×20=16＞0．
∴直线y=-2x-3与

x2

2

-y2=1有交点，
∴曲线

x2

2

-y2=1上存在点P满足|MP|=|NP|．
故答案为：②③④．

点评：本题考查了曲线与方程，训练了线段的垂直平分线方程的求法，考查了利用判别式法判断两条曲线的位置关系，是中档题．