Question

P是以F₁、F₂为焦点的双曲线C：（a＞0，b＞0）上的一点，已知=0，．
（1）试求双曲线的离心率e；
（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P₁、P₂两点，当=-，=0，求双曲线的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，，得出，．再利用向量垂直的条件得到：（4a）²+（2a）²=（2c）²从而求双曲线的离心率e．
（2）由（1）知，双曲线的方程可设为，设P₁（x₁，2x₁），P₂（x₂，-2x₂），P（x，y）．利用向量的数量积得到：结合向量条件得出x，y的表达式，最后根据点P在双曲线上列出方程求得a²=2．从而得到双曲线的方程．
解答：解（1）∵，，∴，．
∵=0，∴（4a）²+（2a）²=（2c）²，∴．
（2）由（1）知，双曲线的方程可设为，渐近线方程为y=±2x．
设P₁（x₁，2x₁），P₂（x₂，-2x₂），P（x，y）．
∵，∴．∵，∴
∵点P在双曲线上，∴．
化简得，．∴．∴a²=2．∴双曲线的方程为
点评：本题考查向量与双曲线的有关内容．近几年来向量与其他知识互相渗透成为一种时尚，特命此题正基于此．本题考查学生运用圆锥曲线定义灵活解题的能力、向量知识、运算能力．