Question

已知定义在R上的偶函数f（x）的最小值为1，当x∈[0，+∞）时，f（x）=ae^x．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求最大的整数m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤ex．（注：e为自然对数的底数）

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知f（x）=ae^x，可知其为单调函数，利用偶函数的性质求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤ex，即存在t∈[-2，0]，满足et≤

em

em

，令g（x）=e^x-e³x，x∈[2，+∞），对g（x）进行求导，求其单调性，从而求出t的值，只要证明f（x-2）=e^|x-2|≤ex对任意x∈[1，4]恒成立，就可以了，需要利用分类讨论的思想进行证明；

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=ae^x为单调函数，故f（0）=1，得a=1，…（2分）
当x＜0时，-x＞0，则f（x）=f（-x）=3e^-x
综上：f(x)=

ex，x≥0 e-x，x＜0

；           …（5分）
（Ⅱ）因为任意x∈[1，m]，都有f（x+t）≤ex
故f（1+t）≤e且f（m+t）≤em
当1+t≥0时，e^1+t≤e，从而1+t≤1，
∴-1≤t≤0
当1+t＜0时，e^-（1+t）≤e，从而-（1+t）≤1，
∴-2≤t＜-1
综上-2≤t≤0∵m≥2，故m+t＞0
故f（m+t）≤em得：e^m+t≤em
即存在t∈[-2，0]，满足et≤

em

em

∴

em

em

≥{et}min=e-2，即e^m-e³m≤0
令g（x）=e^x-e³x，x∈[2，+∞），则g′（x）=e^x-e³
当x∈（2，3）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减
当x∈（3，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增
又g（3）=-2e³＜0，g（2）=-e³＜0，g（4）=e³（e-4）＜0，g（5）=e³（e²-4）＞0
由此可见，方程g（x）=0在区间[2，+∞）上有唯一解m₀∈（4，5），
且当x∈[2，m₀]时g（x）≤0，当x∈[m₀，+∞）时g（x）≥0
∵m∈Z，故m_max=4，此时t=-2．…（12分）
下面证明：f（x-2）=e^|x-2|≤ex对任意x∈[1，4]恒成立
①当x∈[1，2]时，即e^2-x≤ex，等价于e≤xe^x
∵x∈[1，2]，
∴e^x≥e，x≥1，xe^x≥e
②当x∈[2，4]时，即e^x-2≤ex，等价于{e^x-3-x}_max≤0
令h（x）=e^x-3-x，则h'（x）=e^x-3-1
∴h（x）在（2，3）上递减，在（3，4）上递增
∴h_max=max{h（2），h（4）}
而h(2)=

1

e

-2＜0，h(4)=e-4＜0
综上所述，f（x-2）≤ex对任意x∈[1，4]恒成立．…（15分）

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性以及偶函数的性质，解题的过程中用到了分类讨论和转化的思想，这也是高考常考的热点问题，是一道中档题，有一定的难度；