Question

若函数y=lg（3-4x+x²）的定义域为M．当x∈M时，求f（x）=2^x+2-3×4^x的最值及相应的x的值．

Answer 1

【答案】分析：根据题意可得M={x|x²-4x+3＞0}={x|x＞3，x＜1}，f（x）=2^x+2-3×4^x=-3•（2^x）²+4•2^x
令t=2^x，则t＞8，或0＜t＜2∴f（t）=-3t²+4t利用二次函数在区间（8，+∞）或（0，2）上的最值及x即可
解答：解：y=lg（3-4x+x²），
∴3-4x+x²＞0，
解得x＜1或x＞3，
∴M={x|x＜1，或x＞3}，
f（x）=2^x+2-3×4^x=4×2^x-3×（2^x）²．
令2^x=t，
∵x＜1或x＞3，
∴t＞8或0＜t＜2．
∴f（t）=4t-3t²=-3t²+4t（t＞8或0＜t＜2）．
由二次函数性质可知：
当0＜t＜2时，f（t）∈（-4，]，
当t＞8时，f（x）∈（-∞，-160），
当2^x=t=，即x=log₂时，f（x）_max=．
综上可知：当x=log₂时，f（x）取到最大值为，无最小值．
点评：本题主要考查了对数函数的定义域，以指数函数的最值的求解为载体进而考查了二次函数在区间上的最值班的求解，体现了转化思想在解题中的运用，是一道综合性比较好的试题．