Question

已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=2，AA₁=4，E为AA₁的中点，F为BC中点．
（1）求证：直线AF∥平面BEC₁；
（2）求平面BEC₁和平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

解：取B₁C₁中点为S，连接FS，以点F为坐标原点，FA为x轴，FB为y轴，FS为z轴建立空间直角坐标系，则
，
，
（1）则，，
设平面BEC₁的法向量为，则
，
即
令y₁=2，则x₁=0，z₁=1，
即，
所以，
故直线AF∥平面BEC₁．
（2）设平面ABC的法向量，则
．
由于平面BEC₁和平面ABC所成二面角是锐二面角所以其余弦值是．