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如图,四面体OABC的三条棱OA、OB、OC两两垂直,OA=OB=2,OC=3,D为四面体OABC外一点.给出下列命题.
①不存在点D,使四面体ABCD有三个面是直角三角形
②不存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥
③存在点D,使CD与AB垂直并且相等
④存在无数个点D,使点O在四面体ABCD的外接球面上
其中真命题的序号是
③④
③④
分析:对于①可构造四棱锥CABD与四面体OABC一样进行判定;
对于②,使AB=AD=BD,此时存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥;
对于③取CD=AB,AD=BD,此时CD垂直面ABD,即存在点D,使CD与AB垂直并且相等;
对于④先找到四面体OABC的内接球的球心P,使半径为r,只需PD=r,可判定④的真假.
解答:解:对于①,∵四面体OABC的三条棱OA,OB,OC两两垂直,OA=OB=2,OC=3,
∴AC=BC=
13
,AB=2
2

当四棱锥CABD与四面体OABC一样时,即取CD=3,AD=BD=2,四面体ABCD的三条棱DA、DB、DC两两垂直,
此时点D,使四面体ABCD有三个面是直角三角形,故①不正确;
对于②,由①知AC=BC=
13
,AB=2
2

使AB=AD=BD,此时存在点D,CD=
13
,使四面体C-ABD是正三棱锥,故②不正确;
对于③,取CD=AB,AD=BD,此时CD垂直面ABD,即存在点D,使CD与AB垂直并且相等,故③正确;
对于④,先找到四面体OABC的内接球的球心P,使半径为r,只需PD=r即可
∴存在无数个点D,使点O在四面体ABCD的外接球面上,故④正确
故答案为:③④.
点评:本题主要考查了棱锥的结构特征,同时考查了空间想象能力,转化与划归的思想,以及构造法的运用,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,四面体OABC的三条棱OA,OB,OC两两垂直,OA=OB=2,OC=3,D为四面体OABC外一点.给出下列命题.
①不存在点D,使四面体ABCD有三个面是直角三角形
②不存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥
③存在点D,使CD与AB垂直并且相等
④存在无数个点D,使点O在四面体ABCD的外接球面上
其中真命题的序号是(  )
A、①②B、②③C、③D、③④

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年北京66中高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版) 题型:选择题

如图,四面体OABC的三条棱OA,OB,OC两两垂直,OA=OB=2,OC=3,D为四面体OABC外一点.给出下列命题.
①不存在点D,使四面体ABCD有三个面是直角三角形
②不存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥
③存在点D,使CD与AB垂直并且相等
④存在无数个点D,使点O在四面体ABCD的外接球面上
其中真命题的序号是( )

A.①②
B.②③
C.③
D.③④

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科目:高中数学 来源:2013年高考百天仿真冲刺数学试卷6(理科)(解析版) 题型:选择题

如图,四面体OABC的三条棱OA,OB,OC两两垂直,OA=OB=2,OC=3,D为四面体OABC外一点.给出下列命题.
①不存在点D,使四面体ABCD有三个面是直角三角形
②不存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥
③存在点D,使CD与AB垂直并且相等
④存在无数个点D,使点O在四面体ABCD的外接球面上
其中真命题的序号是( )

A.①②
B.②③
C.③
D.③④

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科目:高中数学 来源:2011年北京市西城区高考数学一模试卷(理科)(解析版) 题型:选择题

如图,四面体OABC的三条棱OA,OB,OC两两垂直,OA=OB=2,OC=3,D为四面体OABC外一点.给出下列命题.
①不存在点D,使四面体ABCD有三个面是直角三角形
②不存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥
③存在点D,使CD与AB垂直并且相等
④存在无数个点D,使点O在四面体ABCD的外接球面上
其中真命题的序号是( )

A.①②
B.②③
C.③
D.③④

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