Question

如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2．

（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；

（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为．

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）.

【解析】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用。（1）只要过点作的平行线即可；（2）由于点是点在平面内的射影，只要过点作的垂线即可很容易地作出二面角的平面角，剩下的就是具体的计算问题。或者建立空间直角坐标系，使用法向量的方法求解。

方法一：（Ⅰ）证明：过点作交于，连结，

可得四边形为矩形，又为矩形，所以，从而四边形为平行四边形，故．因为平面，平面，

所以平面．………6分

（Ⅱ）解：过点作交的延长线于，连结．

由平面平面，，得平面，

从而．所以为二面角的平面角．

在中，因为，，

所以，．又因为，所以，

从而，于是，

因为所以当为时，

二面角的大小为………12分

方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．设，

则，，，，．

（Ⅰ）证明：，，，

所以，，从而，，

所以平面．因为平面，所以平面平面．

故平面．………6分

（Ⅱ）解：因为，，所以，，从而

解得．所以，．设与平面垂直，

则，，解得．又因为平面，，所以，

得到．所以当为时，二面角的大小为．………12分