Question

已知函数f1(x)=

2x-1

x+1

，对于n∈N^*，定义f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，则f₂₀₁₁（x）=

2x-1

x+1

．

Answer 1

分析：函数对于n∈N^*，定义f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，故f₂（x）=f₁[f₁（x）]=f₁（

2x-1

x+1

）=

x-1

x

．f₃（x）=f₁（

x-1

x

）=

x-2

2x-1

，f₄（x）=f₁（

x-2

2x-1

）=

1

1-x

，f₅（x）=f₁（

1

1-x

）=

x+1

2-x

，f₆（x）=f₁（

x+1

2-x

）=x，f₇（x）=f₁（x）=

2x-1

x+1

．所以从f₁（x）到f₆（x），每6个一循环．由此能求出结果．

解答：解：∵函数对于n∈N^*，定义f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，
∴f₂（x）=f₁[f₁（x）]=f₁（

2x-1

x+1

）=

2• 2x-1 x+1 -1

2x-1 x+1 +1

=

x-1

x

．
f₃（x）=f₁[f₂（x）]=f₁（

x-1

x

）=

2• x-1 x -1

x-1 x +1

=

x-2

2x-1

，
f₄（x）=f₁[f₃（x）]=f₁（

x-2

2x-1

）=

2• x-2 2x-1 -1

x-2 2x-1 +1

=

1

1-x

，
f₅（x）=f₁[f₄（x）]=f₁（

1

1-x

）=

2• 1 1-x -1

1 1-x +1

=

x+1

2-x

，
f₆（x）=f₁[f₅（x）]=f₁（

x+1

2-x

）=

2• x+1 2-x -1

x+1 2-x +1

=x，
f₇（x）=f₁[f₆（x）]=f₁（x）=

2x-1

x+1

=f₁（x）．
所以从f₁（x）到f₆（x），每6个一循环．
∵2011=335×6+1，
∴f₂₀₁₁（x）=f1(x)=

2x-1

x+1

，
故答案为：

2x-1

x+1

．

点评：本题考查函数的周期性，是基础题．解题时要认真审题，解题的关键是得到从f₁（x）到f₆（x），每6个一循环．