Question

（2009•河东区二模）已知

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)(0＜α＜β＜π)．
（1）求证：

a

+

b

与

a

-

b

互相垂直；
（2）若k

a

+

b

与

a

-k

b

大小相等（其中k为非零实数），求β-α．

Answer 1

分析：（1）由条件求出

a

+

b

与

a

-

b

的坐标，计算(

a

+

b

)•(

a

-

b

)的值等于零，从而证得结论．
（2）先求出k

a

+

b

与

a

-k

b

的解析式，由|k

a

+

b

|=|

a

-k

b

|得2kcos（β-α）=-2kcos（β-α），求得cos（β-α）=0从而得到β-α的值．

解答：解：（1）由

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，
得

a

+

b

=(cosα+cosβ，sinα+sinβ)，

a

-

b

=(cosα-cosβ，sinα-sinβ)，
又(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=cos²α-cos²β+sin²α-sin²β=0．
∴(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)．
（2）∵k

a

+

b

=(kcosα+cosβ，ksinα+sinβ)，
∴|k

a

+

b

|=

k2+2kcos(β-α)+1

，
同理∴|

a

-k

b

|=

1-2kcos(β-α)+k2

，
由|k

a

+

b

|=|

a

-k

b

|得2kcos（β-α）=-2kcos（β-α），
又k≠0，所以cos（β-α）=0，因0＜α＜β＜π，所以β-α=

π

2

．

点评：本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的条件，求向量的模的方法，属于中档题．