Question

若存在实常数k和b，使函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x恒有：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知h（x）=x²，φ（x）=2elnx，则可推知h（x），φ（x）的“隔离直线”方程为

y=2

e

x-e

．

Answer 1

分析：存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线，构造函数，求出函数函数的导数，根据导数求出函数的最值

解答：解：令F（x）=h（x）-φ（x）=x²-2elnx（x＞0），再令F′（X）=2x-

2e

x

=0，解得 x=

e

．
从而函数h（x）和φ（x）的图象在x=

e

处有公共点．
因此存在h（x）和φ（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则
隔离直线方程为y-e=k（x-

e

），即y=kx-k

e

+e．
由h（x）≥kx-k

e

+e可得 x²-kx+k

e

-e≥0当x∈R恒成立，
则△=k²-4k

e

+4e=(k-2

e

)2≤0，只有k=2

e

时，等号成立，此时直线方程为：y=2

e

x-e．
同理证明，由φ（x ）≤kx-k

e

+e，可得只有k=2

e

时，等号成立，此时直线方程为：y=2

e

x-e．
综上可得，函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2

e

x-e．

点评：本题以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的求导，利用导数求最值，属于难题．