Question

已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，直线y=kx（k≠0）与椭圆M交于A、B两点，直线y=-

1

k

x与椭圆M交于C、D两点，P点坐标为（a，0），直线PA和PB斜率乘积为-

1

2

．
（1）求椭圆M离心率；
（2）若弦AC的最小值为

2 6

3

，求椭圆M的方程．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），由对称性得B（-x₁，-y₁）．将A（x₁，y₁）代入椭圆可得

y

2 1

=b2(1-

x 2 1

a2

)．利用斜率计算公式可得k_PA•k_PB=

y1

x1-a

•

-y1

-x1-a

，再利用已知kPA•kPB=-

1

2

，a²=b²+c²及e=

c

a

即可得出；
（2）由（1）e=

2

2

可得a²=2b²，于是椭圆方程可化为x²+2y²=a²，与直线AC的方程联立可得A，C的坐标，进而得到|AC|²，再利用基本不等式即可得出．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），由对称性得B（-x₁，-y₁）．
将A（x₁，y₁）代入椭圆得

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，∴

y

2 1

=b2(1-

x 2 1

a2

)．
∴KPA•KPB=

y1

x1-a

•

-y1

-x1-a

=

y 2 1

x 2 1 -a2

=

b2(1- x 2 1 a2 )

x 2 1 -a2

=-

b2

a2

．
又KPA•KPB=-

1

2

，
∴

b2

a2

=

1

2

，∴

c2

a2

=

1

2

，
∴e=

2

2

．
（2）椭圆方程可化为x²+2y²=a²，联立

y=kx x2+2y2=a2

解得x2=

a2

1+2k2

，y2=

k2a2

1+2k2

，
设O为坐标原点，则|OA|²=

a2(1+k2)

1+2k2

，
同理可得|OC|²=

a2(1+ 1 k2 )

1+ 2 k2

．
∴|AC|²=

a2(1+k2)

1+2k2

+

a2(1+ 1 k2 )

1+ 2 k2

=a2×

3k4+6k2+3

2k4+5k2+2

=

3

2

a2(1-

1

2k2+ 2 k2 +5

)≥

4

3

a2．
当且仅当k²=1即k=±1时取等号，此时

4

3

a2=(

2 6

3

)2=

8

3

，
∴a²=2．
∴椭圆方程为  

x2

2

+y2=1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立，两点间的距离公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于难题．