Question

给出以下结论：
①甲从四面体中任意选择一条棱，乙也从该四面体中任意选择一条棱，则所得的两条棱所在的直线是异面直线的概率是

1

6

；
②关于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立，则a的取值范围是a＜2

2

；
③若关于x的方程x-

1

x

+k=0在x∈(0，1)上没有实数根，则k的取值范围是k≥2；
④函数f（x）=e^x-x-2（x≥0）有一个零点．
其中正确的结论是

①④

（填上所有正确结论的序号）

Answer 1

分析：通过四面体的特征判断①的正误；
利用三角函数的最小值判断②的正误；
利用方程没有实数根求出k的范围，判断③的正误；
利用函数的导数与单调性，判断函数的零点的个数判断④的正误；

解答：解：四面体中任意选择一条棱，共有六种情况，而异面直线有三对，①正确；
sin2x+

2

sin2x

中sinx=1时，取得最小值为3，∴a＜3，所以②不正确；
关于x的方程x-

1

x

+k=0在x∈(0，1)上没有实数根，即函数f（x）=x-

1

x

与直线y=-k在x∈（0，1）时无交点，又函数f（x）是增函数，
故k的取值范围是k≤0，③不正确；
对于④函数f（x）=e^x-x-2可得f′（x）=e^x-1，故x＞0时函数f（x）是增函数，
又f（0）=e⁰-2=-1＜0，f（2）=e²-4＞0，所以函数有且只有一个零点，
④正确．
故答案为：①④．

点评：本题是综合题，考查四面体的特征，函数的最值，函数的单调性与导数的关系，函数的零点等知识，考查逻辑推理能力，计算能力．