Question

设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M(M⊆D)，有x＋l∈D，且f(x＋l)≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数.

(1)如果定义域为[－1，＋∞)的函数f(x)＝x²为[－1，＋∞)上的m高调函数，求实数m的取值范围.

(2)如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝|x－a²|－a²，且f(x)为R上的4高调函数，求实数a的取值范围.

Answer 1

(1)f(x)＝x²(x≥－1)的图象如图(1)所示，要使得f(－1＋m)≥f(－1)，有m≥2；x≥－1时，恒有f(x＋2)≥f(x)，故m≥2即可.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)；

(2)由f(x)为奇函数及x≥0时的解析式知f(x)的图象如图(2)所示，

∵f(3a²)＝a²＝f(－a²)，

由f(－a²＋4)≥f(－a²)＝a²＝f(3a²)，

故－a²＋4≥3a²，从而a²≤1，

又a²≤1时，恒有f(x＋4)≥f(x)，故a²≤1即可.

所以实数a的取值范围为[－1,1].