Question

某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是

1

2

．棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第m（m∈N，m≥100）站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第m-1站（胜利大本营）或第m站（失败大本营）时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为P_n．
（1）求P₀，P_l，P₂；
（2）写出P_n与P_n-1，p_n-2的递推关系；
（3）求证：玩该游戏获胜的概率小于

2

3

．

Answer 1

分析：（1）结合题设条件能够求出P₀=1，P₁=

1

2

，P2=

1

2

+

1

2

×

1

2

=

3

4

．
（2）依题意，棋子跳到第n站（2≤n≤m）有两种可能：第一种，棋子先到第n-2站，又掷出反面，其概率为

1

2

Pn-2；第二种，棋子先到第n-1站，又掷出正面，其概率为

1

2

Pn-1，由此能够得到P_n与P_n-1，p_n-2的递推关系．
（3）由Pn-Pn-1=-(

1

2

Pn-1-

1

2

Pn-2)(2≤n≤m)，知数列{P_n-P_n-1}（1≤n≤99）是首项为P1-P0=-

1

2

公比为

1

2

的等比数列，由此能证明玩该游戏获胜的概率小于

2

3

．

解答：（1）解：依题意，得
P₀=1，P₁=

1

2

，
P2=

1

2

+

1

2

×

1

2

=

3

4

（3分）．
（2）解：依题意，棋子跳到第n站（2≤n≤m）有两种可能：
第一种，棋子先到第n-2站，又掷出反面，其概率为

1

2

Pn-2；
第二种，棋子先到第n-1站，又掷出正面，其概率为

1

2

Pn-1
∴Pn=

1

2

P

n-1

+

1

2

P

n-2

           （3分）
（3）证明：∵Pn-Pn-1=

1

2

Pn-1+

1

2

Pn-2-Pn-1=-

1

2

Pn-1+

1

2

Pn-2
即Pn-Pn-1=-(

1

2

Pn-1-

1

2

Pn-2)(2≤n≤m)（2分）
可知数列{P_n-P_n-1}（1≤n≤99）是首项为P1-P0=-

1

2

公比为

1

2

的等比数列，
于是有P_m-1=P₀+（P₁-P₀）+（P₂-P₁）+（P₃-P₂）+…+（P_m-1-P_m-2）
=1+(-

1

2

)+(-

1

2

)2+(-

1

3

)3+…+(-

1

2

)m-1=

2

3

[1-(

1

2

)m]＜

2

3

因此，玩该游戏获胜的概率小于

2

3

．（2分）

点评：本题考查概率的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．