Question

设椭圆T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直线l过椭圆左焦点F₁且不与x轴重合，l与椭圆交于P、Q，当l与x轴垂直时，|PQ|=

4

3

，F₂为椭圆的右焦点，M为椭圆T上任意一点，若△F₁MF₂面积的最大值为

2

．
（1）求椭圆T的方程；
（2）直线l绕着F₁旋转，与圆O：x²+y²=5交于A、B两点，若|AB|∈（4，

19

）），求△F₂PQ的面积S的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可将x=-c代入椭圆方程可得，

c2

a2

+

y2

b2

=1结合c=

a2-b2

可得y=±

b2

a

，从而可求|PQ|，再由△F₁MF₂面积的最大值为

2

可得

1

2

b• 2c=

2

，由方程可求a，b进而可求椭圆方程
（2）设直线L：x=my-1，可求圆心O到直线L的距离d，由圆的性质可知AB=2

r2-d2

=2

5- 1 1+m2

由AB∈[4， 

19

 ]，可求m的范围，联立方程组

x=my-1 x2 3 + y2 2 =1

消去x，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则根据方程的根与系数关系可得，y1+y2=

4m

3+2m2

，y1y2=

-4

2m2+3

，代入S=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

，代入整理，结合函数的单调性可求S的范围

解答：解：（1）由题意可将x=-c代入椭圆方程可得，

c2

a2

+

y2

b2

=1
∵c=

a2-b2

∴

a2-b2

a2

+

y2

b2

=1即y=±

b2

a

∴|PQ|=

2b2

a

=

4

3

①
由已知可得

1

2

b• 2c=

2

②
①②联立可得a²=3，b²=2
∴椭圆的方程为

x2

3

+

y2

2

=1
（2）设直线L：x=my-1即x-my+1=0，圆心O到直线L的距离d=

1

1+m2

由圆的性质可知AB=2

r2-d2

=2

5- 1 1+m2

又AB∈[4， 

19

 ]，则4≤2

5- 1 1+m2

≤

19

∴m²≤3
联立方程组

x=my-1 x2 3 + y2 2 =1

消去x可得（2m²+3）y²-4my-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y1+y2=

4m

3+2m2

，y1y2=

-4

2m2+3

S=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 4m 3+2m2 )2+ 16 3+2m2

=

48(1+m2) (2m2+3)2

=

48 4t+ 1 t +4

（令t=m²+1∈[1，4]）
设f（t）=4t+

1

t

（t∈[1，4]）
则f′(t)=4-

1

t2

＞0对一切t∈[1，4]恒成立
∴f（t）=4t+

1

t

在[1，4]上单调递增，4t+

1

t

∈[5，

65

4

]
∴S∈[

8 3

9

，

4 3

3

]

点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆方程，点到直线的距离公式，圆的性质的应用，直线与圆锥曲线的相交关系的应用，还要具备一定的逻辑推理与运算的能力．