Question

已知

a

=(sinx，-cosx)，

b

=(cosx，

3

cosx)，函数f(x)=

a

•

b

+

3

2

（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当0≤x≤

π

2

时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先根据向量数量积的定义进行化简，转化成f(x)=sinxcosx-

3

cos2x+

3

2

，然后利用降幂公式和二倍角公式进行化简整理，最后用辅助角公式化成y=Asin（ωx+φ）；
（2）根据x的范围先求出2x-

π

3

的范围，然后根据正弦函数的单调性求出其值域即可．

解答：解：（1）f(x)=sinxcosx-

3

cos2x+

3

2

．（2分）
=

1

2

sin2x-

3

2

(cos2x+1)+

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin(2x-

π

3

)．（4分）
所以f（x）的最小正周期为π，（6分）．
（2）∵0≤x≤.

π

2

．∴-

π

3

＜2x-

π

3

≤

2π

3

（8分）
∴-

3

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，
即f（x）的值域为[-

3

2

，1]（12分）

点评：本题主要考查了一向量的数量积为载体，考查三角函数的周期性和值域，同时考查了计算能力和化简转化的能力，属于基础题．