Question

设关于x的函数f（x）=sin²x-2acosx-1
（1）求函数f（x）的最大值g（a）；
（2）试确定满足g（a）=

1

2

的a，并对此时的a值求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根据同角三角函数的基本关系进行化简，然后转化为关于cosx的一元二次函数，再根据一元二次函数的性质与cosx的范围确定函数f（x）的最大值g（a）．
（2）根据（1）中的g（a）的解析式确定f（a）=

1

2

的a的范围，进而求出a的值，最后将a的值代入到函数f（x）中即可根据cosx的范围和一元二次函数的性质可求出其最大值．

解答：解：（1）f（x）=sin²x-2acosx-1=-cos²x-2acosx=-（cosx+a）²+a²，
当-1≤a≤1时，g（a）=a²；
当-a＜-1即a＞1时，g（a）=-（-1+a）²+a²=2a-1；
当-a＞1即a＜-1时，g（a）=-（1+a）²+a²=-2a-1
故 g（a）=

-2a-1    a∈(-∞，-1) a2         a∈[-1，1] 2a-1      a∈(1，+∞)

（2）∵g（a）=

1

2

，
∴当a＜-1时，g（a）=-2a-1=

1

2

，得a=-

3

4

（舍去），
当a＞1时，g（a）=2a-1=

1

2

，解得a=

3

4

（舍去），
当-1≤a≤1时，g（a）=a²=

1

2

，
解得a=

2

2

或-

2

2

，
故a=±

2

2

，
此时f（x）=-（cosx+

2

2

）²+

1

2

或f（x）=-（cosx-

2

2

）²+

1

2

当cosx=

2

2

或cosx=-

2

2

时f（x）有最大值

1

2

，
综上所述，a=±

2

2

时，f（x）最大值为

1

2

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系和一元二次函数的基本性质．考查基础知识的综合应用和灵活运用．