Question

一个底面边长为2cm，高为

15

3

cm的正三棱锥，其顶点位于球心，底面三个顶点都在球面上，则该球的体积是

4

3

π

cm³．

Answer 1

分析：欲求球的体积，只须求出球的半径即可，求出正三棱锥的侧棱长，即为球的半径，然后通过球的体积公式求出体积即可．

解答：解∵正三棱锥的顶点位于球心，底面三个顶点都在球面上，
∴正三棱锥的侧棱长，即为球的半径，
如图：∵S-ABC为正三棱锥        
∴S在平面ABC上的射影为△ABC的中心O．
又AB=2，SO=

15

3

，
∴CD=

3

2

•AB=

3

，CO=

2

3

•CD=

2 3

3

，
∴三棱锥的侧棱SC=

SO2+CO2

=

3

；
则该球的体积是 V=

4

3

πR3=

4

3

π(

3

)3=4

3

π．
故答案为：4

3

π．

点评：本题是基础题，考查球的内接三棱锥的有关知识，求出三角形的边长与三角形的面积是解题的关键，考查计算能力．