Question

求下列函数的值域：
．

Answer 1

解：（1）根据题意，得…..（3分）
∵x+2≠0，的分子不为0
∴，可得，即y≠3…..（5分）
综上所述：函数的值域为{y|y≠3}…..（6分）
（2）设，得x=t²+2（t≥0），…..（2分）
∴y=3（t²+2）-6t=3t²-6t+6，
∵3t²-6t+6=3（t-1）²+3≥3…．（5分）
∴当且仅当t=1，即x=3时，函数的最小值为3
综上所述，函数的值域为[3，+∞）．…．（6分）
分析：（1）以分式的分母为整体，对分式进行分离常数，得，再根据分式的分子不为0则分式不为0，即可得到函数的值域．
（2）换元：设，将函数化成y=3t²-6t+6（t≥0），结合二次函数的图象，可得当t=1即x=3时，函数有最小值为3，由此即可得到函数的值域．
点评：本题给出分式函数和含有根式的函数，求函数的值域，着重考查了分离常数的方法求分式函数值域和换元法处理含有根式的函数值域等知识，属于基础题．