Question

若关于x不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0恒成立，则a的取值范围是     ．

Answer 1

【答案】分析：把不等式的左边设为f（x），然后分a-2大于0，a-2等于0，a-2小于0三种情况考虑，当a大于2时显然不能恒成立；
当a等于2时，显然成立；当a小于2时，根据二次函数图象的开口向下，与x轴没有交点即△＜0即可列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围，综上，得到所有a的范围即可．
解答：解：设f（x）=（a-2）x²+2（a-2）x-4，当a-2＞0即a＞2时，函数为开口向上的抛物线，显然不合题意；
当a-2=0即a=2时，不等式变为-4＜0，恒成立；
当a-2＜0即a＜2时，函数为开口向下的抛物线，要使（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0恒成立，
即要△＜0，即4（a-2）²+16（a-2）＜0，化简得：4（a+2）（a-2）＜0，解得：-2＜a＜2．
综上，使不等式恒成立的a的取值范围是（-2，2]．
故答案为：（-2，2]
点评：此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论和函数的思想，是一道综合题．