精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知函数f(x)=(a、b、c∈N),f(2)=2,f(3)<3且f(x)的图像按向量e=(-1,0)平移后得到的图像关于原点对称.

(Ⅰ)求a、b、c的值;

(Ⅱ)设0<|x|<1,0<|t|≤1,求证:|t+x|+|t-x|<|f(tx+1)|;

(Ⅲ)设x是正实数,求证:-f(+1)≥-2.

答案:
解析:

  解:(Ⅰ)函数f(x)的图像按e=(-1,0)平移后得到的图像所对应的函数式为

  f(x+1)=

  ∵函数f(x)的图像平移后得到的图像关于原点对称.

  ∴f(-x+1)=-f(x+1),即

  ∵a∈N,∴+1>0,∴-bx+c=-bx-c,∴c=0

  又∵f(2)=2,∴=2,∴a+1=2b,∴a=2b-1  ①

  又f(3)=<3,∴4a+1<6b  ②

  由①,②及a,b∈N,得a=1,b=1

  (Ⅱ)∵|f(tx+1)|=|tx+|=|tx|+||≥2=2,

  当且仅当|tx|=1时,上式取等号.

  但0<|x|<1,0<|t|≤1,

  ∴|tx|≠1,|f(tx+1)|>2

  S=

  当|t|≥|x|时,S=4≤4;

  当|t|<|x|时,S=4<4.

  ∴|t+x|+|t-x|≤2<|f(tx+1),即|t+x|+|t-x|<|f(tx+1)

  (Ⅲ)n=1时,结论显然成立.

当n≥2时,

  

  


练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:2011届南京市金陵中学高三第四次模拟考试数学试题 题型:解答题

(本小题满分16分)已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a为正数).
(1) 若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(2) 求f(x)的单调区间;
(3) 设g(x)=x2-2x,若对任意的x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010-2011学年浙江省杭州市高三上学期开学考试数学卷 题型:选择题

已知函数f(x)=4x2mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f(1)的范围是(  )

A.f(1)≥25         B.f(1)=25     C.f(1)≤25         D.f(1)>25

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010-2011学年湖南省高三第三次月考文科数学卷 题型:选择题

已知函数f(x)=若f(a)=,则a=                 (  )

A.-1                      B.

C.-1或                 D.1或-

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010-2011学年湖北省天门市高三天5月模拟文科数学试题 题型:填空题

  已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x无实根,下列命题中:

    (1)方程f [f (x)]=x一定无实根;

    (2)若a>0,则不等式f [f (x)]>x对一切实数x都成立;

    (3)若a<0,则必存在实数x0,使f [f (x0)]>x0;

    (4)若a+b+c=0,则不等式f [f (x)]<x对一切x都成立;

    正确的序号有          .              

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012届江西省南昌市高三第一次模拟测试卷理科数学试卷 题型:选择题

已知函数f(x)=|lg(x-1)|-()x有两个零点x1x2,则有

A.x1x2<1    B.x1x2<x1x2

C.x1x2x1x2    D.x1x2>x1x2

 

 

查看答案和解析>>

同步练习册答案