Question

如图，双曲线C₁：

x2

4

-

y2

b2

=1与椭圆C₂：

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）的左、右顶点分别为A₁、A₂第一象限内的点P在双曲线C₁上，线段OP与椭圆C₂交于点A，O为坐标原点．
（I）求证：

kAA1+kAA2

kPA1+kPA2

为定值（其中kAA1表示直线AA₁的斜率，kAA2等意义类似）；
（II）证明：△OAA₂与△OA₂P不相似．
（III）设满足{（x，y）|

x2

4

-

y2

m2

=1，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|

x2

4

-

y2

3

＞1，x∈R，y∈R} 的正数m的最大值是b，求b的值．

Answer 1

分析：（I）先求出A₁A₂的坐标，再设出A、P的坐标，利用两点连线的斜率公式结合两圆锥曲线的方程，将

kAA1+kAA2

kPA1+kPA2

进行化简，可证出

kAA1+kAA2

kPA1+kPA2

为定值-1；
（II）设

OA

=t

OP

，0＜t＜1，可得P（x，y），A（tx，ty），将此坐标分别代入椭圆和双曲线方程，联解可将OA•OP-OA₂²这个式子化简为关于t的函数f（t），利用函数f（t）为单调减函数的性质，可证出

OA

OA 2

＞

OA 2

OP

故：△OAA₂与△OA₂P不相似．
（III）将双曲线方程与子集中的方程联解，化简得x 2＞

4

3

y 2，因此对任意y不等于零，均有

1

3

-

1

m2

＜

1

y2

，故

1

3

-

1

m2

≤ 0，可得m²≤3成立，因此因此b的值为

3

．

解答：（I）解：由已知得A₁（-2，0），A₂（2，0）．
设A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），由题意知A、P均在第一象限，
且满足

x 2 1

4

+

y 2 1

b 2

=1，

x 2 2

4

-

y 2 2

b 2

=1．
则

K AA1+K AA2

K PA1+K PA2

=

y1 x1+2 + y1 x 1-2

y2 x2+2 + y2 x2-2

=

4 b2 y 2 2

- 4 b2 y 2 1

•

x 1y 1

x 1y 1

= -

x 1y 2

x 2y  1

…（3分）
而Q、O、A、P在同一直线上，所以x₁y₂=x₂y₁
故

kAA1+kAA2

kPA1+kPA2

=-1(定值)…（4分）
（II）证明：设

OA

=t

OP

，0＜t＜1，P（x，y），则A（tx，ty）且

x 2   4 - y 2   b 2 =1 t2x 2   4 + t2y 2   b 2 =1

，
解之得：

x 2=2(1+ 1 t2 ) y 2= b 2 2 ( 1 t2 -1)

，且OP 2=x 2+y 2=(2-

b2

2

)+(2+

b2

2

) 

1

t 2

…（6分）
OA•OP-OA₂²=tOP²-OA₂²=(2-

b2

2

)t+(2+

b2

2

)

1

t

-4=f(t)，其中0＜t＜1
所以f′（t）=(2-

b2

2

)-(2+

b2

2

)

1

t 2

＜0恒成立，，函数f（t）在区间（0，1）上是减函数，
因此当0＜t＜1时，f（t）＞f（1）=(2-

b2

2

)+(2+

b2

2

-4=0，即

OA

OA 2

＞

OA 2

OP

故：△OAA₂与△OA₂P不相似．…（9分）
（III）解：由

x2

4

-

y2

m2

=1得x2=4(1+

y 2

m 2

)，由

x2

4

-

y2

3

＞1得x 2＞

4

3

y 2．
∴{（x，y）|

x2

4

-

y2

m2

=1，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|

x2

4

-

y2

3

＞1，x∈R，y∈R}
因此?y≠0，

1

3

-

1

m2

＜

1

y2

?

1

3

-

1

m2

≤ 0?m²≤3所以b=

3

因此b的值为

3

…（13分）

点评：本题考查了圆方程、直线方程、圆锥曲线的基本量和圆与圆锥曲线的关系等知识点，属于难题．解决本题一方面要求对圆方程、直线方程、圆锥曲线的方程有熟悉的理解，另一方面要求对含有字母的代数式化简、计算要精确到位，具有较强的综合性．