Question

（2008•天河区模拟）函数y=sinx+cos²x的值域是（　　）

• A．[-1，

  4

  5

  ]
• B．[-1，1]
• C．[1，

  4

  5

  ]
• D．（-∞，

  4

  5

  ]

Answer 1

分析：把函数解析式的第二项利用同角三角函数间的基本关系sin²x+cos²x=1化简，得到y关于sinx的二次函数，利用完全平方公式配方后，根据正弦的值域求出sinx的范围，利用二次函数的性质可得出函数的最大值及最小值，进而确定出函数的值域．

解答：解：y=sinx+cos²x=sinx+1-sin²x=-（sinx-

1

2

）²+

5

4

，
∵sinx∈[-1，1]，
∴sinx=

1

2

时，y_max=

5

4

，又sinx=-1时，y_min=-1，
∴函数的值域为[-1，

5

4

]．
故选A

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦函数的定义域与值域，以及二次函数在闭区间上的最值，其中灵活运用同角三角函数间的基本关系得出y关于sinx的二次函数是解本题的关键．