Question

在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液

1

4

a升，搅匀后再倒出溶液

1

4

a升，这叫做一次操作．
（1）设第n次操作后容器内溶液的浓度为b_n（每次注入的溶液都是p%），计算b₁，b₂，b₃，并归纳出b_n的计算公式（不要求证明）
（2）设p＞q＞r，且p-r=2（p-q）要使容器内溶液浓度不小于q%，问至少要进行上述操作多少次？（已知lg2=0.3010）

Answer 1

分析：（1）由b1=

a× r 100 + a 4 • p 100

a+ a 4

=

1

100

(

4

5

r+

1

5

p)，b2=

a•b1+ a 4 • p 100

a+ a 4

=

1

100

[(

4

5

)2r+

1

5

p+

4

52

p]，b3=

a•b2+ a 4 • p 100

a+ a 4

=

1

100

[(

4

5

)3r+

1

5

p+

4

52

p+

42

53

p]，能求出b_n的计算公式．
（2）bn=

r

100

(

4

5

)  n+

p

500

[1+

4

5

+(

4

5

)2+…+(

4

5

)n-1]=

r

100

(

4

5

)n+

p

500

•

1-( 4 5 )n

1- 4 5

=

p

100

-

1

100

(

4

5

)n(p-r)，依题意有：

p

100

-

1

100

(

4

5

)n(p-r)≥

q

100

，由此能求出至少要注入倒出4次．

解答：解：（1）b1=

a× r 100 + a 4 • p 100

a+ a 4

=

1

100

(

4

5

r+

1

5

p)，
b2=

a•b1+ a 4 • p 100

a+ a 4

=

1

100

[(

4

5

)2r+

1

5

p+

4

52

p]，
b3=

a•b2+ a 4 • p 100

a+ a 4

=

1

100

[(

4

5

)3r+

1

5

p+

4

52

p+

42

53

p]，
∴bn=

1

100

[(

4

5

)nr+

1

5

p+

4

52

p+…+

4n-1

5n

p]．
（2）bn=

r

100

(

4

5

)  n+

p

500

[1+

4

5

+(

4

5

)2+…+(

4

5

)n-1]
=

r

100

(

4

5

)n+

p

500

•

1-( 4 5 )n

1- 4 5

=

p

100

-

1

100

(

4

5

)n(p-r)，
依题意有：

p

100

-

1

100

(

4

5

)n(p-r)≥

q

100

，
∵p-r=2（p-q），
∴上式化简得：(

5

4

)n≥2，
∴n≥

lg2

1-3lg2

=

0.3010

1-3×0.3010

≈3.103，
∴至少要注入倒出4次．

点评：本题考查数列在生产实际中的具体应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．