Question

设正整数数列{a_n}满足：a₂=4，且对于任何n∈N^*，有2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

，则a₁₀=

100

．

Answer 1

分析：利用2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

，代入计算，可得结论．

解答：解：∵2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

，a₂=4，
∴n=1时，2+

1

4

＜

2

a1

+

2

4

＜2+

1

a1

，解得

2

3

＜a1＜

8

7

．
∵a₁为正整数，∴a₁=1．
当n=2时，由2+

1

a3

＜6（

1

4

+

1

a3

）＜2+

1

4

，解得8＜a₃＜10，所以a₃=9．
同理可得a₄=16；a₅=25；a₆=36；a₇=49；a₈=64；a₉=81；a₁₀=100．
故答案为：100

点评：本题考查不等式，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．