Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a，AD＝3a，且∠ADC＝arcsin，又PA⊥平面ABCD，AP＝a．

求：(1)二面角P－CD－A的大小(用反三角函数表示)；

(2)点A到平面PBC的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)作C⊥AD于，∴ABC为矩形，C＝AB＝a，在RtΔCD中． 　　∵∠ADC＝arcsin，即⊥DC＝arcsin， 　　∴sin∠CD＝＝ 　　∴CD＝a　∴D＝2a 　　∵AD＝3a，∴A＝a＝BC 　　又在RtΔABC中，AC＝＝a， 　　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB． 　　在RtΔPAB中，可得PB＝a． 　　在RtΔPAC中，可得PC＝＝a． 　　在RtΔPAD中，PD＝＝a． 　　∵PC2＋CD2＝(a)2＋(a)＝8a2＜(a)2 　　∴cos∠PCD＜0，则∠PCD＞90° 　　∴作PE⊥CD于E，E在DC延长线上，连AE，由三垂线定理的逆定理得AE⊥CD，∠AEP为二面角P－CD－A的平面角． 　　在RtΔAED中∠ADE＝arcsin，AD＝3a． 　　∴AE＝AD·sin∠ADE＝3a·＝a． 　　在RtΔPAE中，tan∠PEA＝＝＝． 　　∴∠AEP＝arctan，即二面角P－CD－A的大小为arctan． 　　(2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB． 　　∵BC∥AD，∴BC⊥平面PAB． 　　∴平面PBC⊥平面PAB，作AH⊥PB于H，∴AH⊥平面PBC． 　　AH为点A到平面PBC的距离． 　　在RtΔPAB中，AH＝＝＝a． 　　即A到平面PBC的距离为a． 　　说明：(1)中辅助线AE的具体位置可以不确定在DC延长线上，而直接作AE⊥CD于E，得PE⊥CD，从而∠PEA为所求，同样可得结果，避免过多的推算．(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求．