Question

如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，∥,,垂足为，是四棱锥的高。

（Ⅰ）证明：平面 平面；

（Ⅱ）若,60°,求四棱锥的体积。

 

Answer 1

【答案】

(1)由PH是四棱锥P-ABCD的高，得到ACPH,又ACBD,推出AC平面PBD.

故平面PAC平面PBD.

(2)   

【解析】

试题分析：(1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。

所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平面PHD内,且PHBD=H.

所以AC平面PBD.

故平面PAC平面PBD.

(2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=.

所以HA=HB=.

因为APB=ADR=60⁰

所以PA=PB=,HD=HC=1.

可得PH=.

等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+.

所以四棱锥的体积为V=x（2+）x= 

考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积的计算。

点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程。本题（I）较为简单，（II）则体现了“一作、二证、三计算”的解题步骤。