Question

三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8，则该三棱柱外接球的表面积为（　　）

• A、

  16π

  3

• B、

  28π

  3

• C、

  64π

  3

• D、24π

Answer 1

考点：球的体积和表面积,简单空间图形的三视图

专题：球

分析：由题意推出三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．

解答：解：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面边长为2，正视图（如图所示）的面积为8，∴棱柱的高为4，
由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为2，
底面中心到底面三角形的顶点的距离为：

22+( 2 3 × 3 2 ×2)2

=

4 3

3

，
∴球的半径为r=

4 3

3

．
外接球的表面积为：4πr²=4×(

4 3

3

)2π=

64π

3

．
故选：C．

点评：本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．