Question

如图，已知C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．
（Ⅰ）求证：点F是BD中点；
（Ⅱ）求证：CG是圆O的切线．

Answer 1

【答案】分析：（1）由CH⊥AB，DB⊥AB，知△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，由此能够证明点F是BD中点．
（2）连接CB、OC．由AB是直径，知∠ACB=90°．由F是BD中点，知∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO，由此能证明CG是⊙O的切线．
解答：（1）证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，
∴．
又∵HE=EC，∴BF=FD，
故点F是BD中点．…（5分）
（2）证明：如图，连接CB、OC．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°．
又∵F是BD中点，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA
=∠CAB=∠ACO，
∴∠OCF=90°，
∴CG是⊙O的切线．…（10分）
点评：本题考查线段中点的证明，考查圆的切线的证明．解题时要认真审题，注意相似三角形、与圆有关的比例线段的合理运用．