Question

已知P是双曲线

x2

9

-

y2

16

=1上的动点，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，M是∠F₁PF₂的平分线上的一点，且

F2M

•

MP

=0，O为坐标原点，则|OM|=

 

．

Answer 1

分析：假设P在右支，延长F₂M交PF₁于点A，由题意：MF₂垂直PM，故|AM|=|MF₂|，|PA|=|PF₂|，因为|PF₁|-|PF₂|=|PF₁|-|PA|=|F₁A|=2a=6，O为|F₁F₂|中点，M为|AF₂|中点，由此能够求出|OM|的值．

解答：解：假设P在右支，
延长F₂M交PF₁于点A，
由题意：MF₂垂直PM，
故|AM|=|MF₂|，|PA|=|PF₂|，
∵|PF₁|-|PF₂|=|PF₁|-|PA|=|F₁A|=2a=6，
O为|F₁F₂|中点，M为|AF₂|中点，
∴|OM|=

1

2

|AF1|=3．
故答案为：3．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用．