Question

用数学归纳法证明：

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

＞

13

24

（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：直接利用数学归纳法证明问题的步骤，证明不等式即可．

解答： 证明：（1）当n=2时，

1

2+1

+

1

2+2

=

14

24

，

14

24

＞

13

24

命题成立．
（2）假设当n=k时，

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

＞

13

24

成立
当n=k+1时，

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

=

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

＞

13

24

+

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

，
∵

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

=

1

2(2k+1)(k+1)

＞0，
∴

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+

1

(k+1)+3

+…+

1

2(k+1)

＞

13

24

，
当n=k+1时命题成立．
所以对于任意n≥2，n∈N^*都成立．

点评：本题考查数学归纳法证明含自然数n的表达式的证明方法，注意n=k+1的证明时，必须用上假设．