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如图,曲线C1,C2都是以原点O为对称中心、离心率均为e的椭圆.线段MN是C1的短轴,是C2的长轴,其中M点坐标为(0,1),直线l:y=m,(0<m<1)与C1交于A,D两点,与C2交于B,C两点.
(Ⅰ)若m=
3
2
,AC=
5
4
,求椭圆C1,C2的方程;
(Ⅱ)若OB∥AN,求离心率e的取值范围.
分析:(Ⅰ)设C1的方程为
x2
a2
+y2=1
,C2的方程为
x2
b2
+y2=1
,由C1,C2的离心率相同,可建立关于a,b的方程,结合|AC|=
5
4
,建立关系式求出a、b之值,进而可得椭圆C1,C2的方程;
(Ⅱ)由OB∥AN得kOB=kAN,由此建立m,a的关系式,代入化简并用椭圆离心率表示a,进而可得由离心率e表示m的式子,利用m的范围解关于e的不等式,可得离心率e的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)设C1的方程为
x2
a2
+y2=1
,C2的方程为
x2
b2
+y2=1

其中a>1,0<b<1
∵C1,C2的离心率相同,所以
a2-1
a2
=1-b2,解之得ab=1,
∴C2的方程为a2x2+y2=1.
当m=
3
2
时,A(-
1
2
a
3
2
),C(
1
2a
3
2

又∵|AC|=
5
4
,∴
1
2a
-(-
1
2
a
)=
5
4

解之得a=
1
2
(不符合题意,舍去)或a=2,从而得到b=
1
a
=
1
2

∴C1、C2的方程分别为
x2
4
+y2=1
、4x2+y2=1.
(Ⅱ)A(-a
1-m2
,m),B(-
1
a
1-m2
,m).
∵OB∥AN,∴kOB=kAN,可得
m
-
1
a
1-m2
=
m+1
-a
1-m2
,解之得m=
1
a2-1

∵e2=
a2-1
a2
,得a2=
1
e2-1
,可得m=
1-e2
e2

∵0<m<1,∴得0<
1-e2
e2
<1,解得
2
2
<e<1.
点评:本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆方程,及椭圆性质的综合应用等知识,属于中档题.解答本题要求考生具备综合运用数字知识的能力.
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B.a<c<B
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