Question

如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上，点F在DE上，且AF⊥DE，若圆柱的侧面积与△ABE的面积之比等于4π． 
（Ⅰ）求证：AF⊥BD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-E的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证BE⊥AF，而AF?平面ADE，可先证BE⊥平面ADE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BE与平面ADE内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知BE⊥AF，又AF⊥DE，满足定理所需条件；
（Ⅱ）取BD的中点M，连接AM，FM，根据二面角平面角的定义可知∠AMF为二面角A-BD-E的平面角，过点E作EO⊥AB，垂足为O，在Rt△AFM中，求出此角的正弦值即可求出所求．

解答：解：（Ⅰ）因为AD⊥平面ABE，所以AD⊥BE．（1分）
又AE⊥BE，AD∩AE=A，所以BE⊥平面ADE．（2分）
因为AF?平面ADE，所以BE⊥AF．（3分）
又AF⊥DE，所以AF⊥平面BDE，故AF⊥BD．（4分）

（Ⅱ）取BD的中点M，连接AM，FM．
因为AB=AD，则AM⊥BD．因为AF⊥平面BDE，则AF⊥BD．
所以BD⊥平面AFM，从而FM⊥BD，所以∠AMF为二面角A-BD-E的平面角．（6分）
过点E作EO⊥AB，垂足为O．
设圆柱的底半径为r，因为圆柱的轴截面ABCD是正方形，
则圆柱的母线长为2r，所以其侧面积为2πr•2r=4πr²，
又△ABE的面积为

1

2

•2r•OE=r•OE．
由已知，

4πr2

r•OE

=4π，则OE=r，
所以点O为圆柱底面圆的圆心．（8分）
在Rt△AOE中，AE=

OA2+OE2

=

2

r．
在Rt△DAE中，DE=

AD2+AE2

=

6

r，AF=

AD•AE

DE

=

2 2 r

6

=

2r

3

．（10分）
又AM=ABsin45°=

2

r，在Rt△AFM中，sin∠AMF=

AF

AM

=

2

3 • 2

=

6

3

．
故二面角A-BD-E的正弦值为

6

3

．（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及二面角的度量等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，计算能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．