Question

（2012•湛江模拟）已知函数f(x)=

3

sin3x+cos3x+a过点(

π

3

，0)．
（1）求a的值及函数y=f（x）的最小正周期；
（2）若β∈[0，

π

3

]且f(

β

3

)=2，求cos(β+

π

6

)的值．

Answer 1

分析：（1）由函数图象过（

π

3

，0），将此点坐标代入函数解析式，利用特殊角的三角函数值化简，求出a的值确定出f（x）解析式，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；
（2）由f（

β

3

）=2及函数解析式，得到sin（β+

π

6

）的值，由β的范围求出β+

π

6

的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cos（β+

π

6

）的值．

解答：解：（1）依题意将（

π

3

，0）代入函数解析式得：

3

sin（3×

π

3

）+cos（3×

π

3

）+a=0，
解得：a=1，
∴f（x）=

3

sin3x+cos3x+1=2sin（3x+

π

6

）+1，
∵ω=3，
∴T=

2π

3

；
（2）∵f（

β

3

）=2sin（3×

β

3

+

π

6

）+1=2，
∴sin（β+

π

6

）=

1

2

，
∵β∈[0，

π

3

]，∴β+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]，
∴cos（β+

π

6

）=

1-sin2(β+ π 6 )

=

3

2

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，三角函数的周期性及其求法，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．