Question

对任意函数f(x),x∈D,如图所示，构造一个数列发生器，其工作原理如下：

①输入数据x₀∈D，经数列发生器输出x₁=f(x₀);

②若x₁D,则数列发生器结束工作；若x₁∈D,则将x₁反馈回输入端，再输出x₂=f(x₁)，并依次规律继续下去.

    现定义f(x)=.

（Ⅰ）若输入x₀=,则数列发生器产生数列{x_n}，请写出数列{x_n}的所有项；

（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x₀的值；

（Ⅲ）若输入x₀时，产生的无穷数列{x_n}满足：对任意正整数n，均有x_n＜x_n+1,求x₀的取值范围.

Answer 1

解析：（Ⅰ）因为f(x)的定义域D=(-∞,-1)∪(-1,+∞),

    所以数列{x_n}只有三项x₁=,x₂=,x₃=-1.

（Ⅱ）因为f(x)==x即x²-3x+2=0所以x=1或x=2,

    即x₀=1或x₀=2时，x_n+1==x_n.

    故当x₀=1时，x_n=1；

    当x₀=2时，x_n=2（n∈N）.

（Ⅲ）解不等式x＜得：x＜-1或1＜x＜2.

    要使x₁＜x₂,则x₁＜-1或1＜x₁＜2.

    对于函数f(x)==4-,

    若x₁＜-1,则x₂=f(x₁)＞4,x₃=f(x₂)＜x₂

    不符合对任意正整数n均有x_n＜x_n+1;

    若1＜x₁＜2,则x₂=f(x₁)＞x₁,且1＜x₂＜2,

    依次类推可得数列{x_n}的所有项均满足：x_n+1＞x_n(n∈N).

    综上所述，x₁∈(1,2).

    由x₁=f(x₀),得x₀∈(1,2).